Mathematik verstehen?

11. September 2016

Mir hat sich die Mathematik erst erschlossen, als ich auf der Uni das Programmieren gelernt habe. Da wurde mir klar, dass Mathematik eine Sprache ist, eine Sprache, die es erlaubt, Sachverhalte zu beschreiben, die sich mit Zahlen erschließen lassen. Wie eine Sprache kann man Mathematik nicht „verstehen“ sondern muss viel auswendig lernen. Man kann nicht verstehen, warum ein mal eins gleich eins ist, und eins und eins gleich zwei, das ist nämlich nur im Dezimalsystem so.

Der Computer rechnet eins plus eins ist gleich eins null. Also ist das eine Vereinbarung, auf der alle anderen Regeln logisch aufgebaut sind. Logisch heißt auch nicht, das habe ich verstanden, sondern dies ist die einzige richtige Möglichkeit. Die Zahlen sind die Worte der Sprache, und die Rechenregeln sind die Grammatik, alles muss man auswendig lernen. Wer die Grundlagen gelernt hat, kann darauf aufbauend die Regeln nutzen, um ein unbekanntes Problem auf ein bekanntes Problem zurückführen, und so lösen.

Der eigentliche Charme der Mathematik ist aber nicht die Beschreibung eines Zustandes, sondern die Möglichkeit in den Formeln Werte zu variieren, und so Aussagen zu machen, die über den derzeitigen Zustand hinaus gehen, quasi in die Zukunft zu schauen. Was uns in der Schule so viele Schwierigkeiten macht, ist, dass Mathematik als Selbstzweck verkauft wird, und nicht als Hilfsmittel, das würde dem Selbstverständnis mancher Lehrer schaden. Die Übungsaufgaben sind nämlich meist Beispiele aus der Physik, der Finanzwelt oder anderen Bereichen. Zuerst muss man die dortigen Regeln und Zusammenhänge verstehen, bevor man sie mit der Mathematik beschreiben kann, eine doppelte Schwierigkeit.

Wer das mathematische Rüstzeug nicht beherrscht, kann den Sachverhalt nicht beschreiben und deshalb auch nicht einer Lösung zuführen. Also großes und kleines Einmaleins, Dreisatz, Lösung zweier Unbekannten mit zwei Gleichungen, quadratische Gleichung sollte man „im Schlaf“ beherrschen, das hilft auch im Alltag.

Was man auswendig gelernt hat, ist sofort parat, und fehlerfreier als Hergeleitetes. Dann kann Mathematik auch richtig Spaß machen.

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Mechatronik- Tricks

30. Januar 2010

In der Mechatronik hat die Elektronik kein eigenes Gehäuse, sondern sitzt im Sensor- oder Aktorgehäuse.

Die damit verbundenen erhöhten Anforderungen an Temperatur- und mechanischer Belastung werden u.A. mit folgenden Maßnahmen gelöst:

Ausgewählte Beispiele für Schaltungen, Anordnungen und Dimensionierungen: Den Rest des Beitrags lesen »


Scheitern des Umweltgipfels in Kopenhagen Dezember 2009

19. Dezember 2009

Könnte es sein, dass die Politiker gar keinen guten Job machen konnten? Ist eine so vage Zielsetzung geeignet, wirklich konkrete Maßnahmen und erhebliche finanzielle Mittel zu vereinbaren?

Scio, ut nescio (lat. Ich weiss, dass ich nichts weiss) wäre doch eher angebracht. Zwei Grad Temperaturerhöhung gegenüber dem Beginn des Industriezeitalters als fixe Grenze? Als Naturwissenschaftler (er sollte Wissen über die Natur schaffen) sollte man ein paar ganz einfache Fragen stellen: Den Rest des Beitrags lesen »


Wie macht man ein Patent

16. November 2009

Wie macht man ein Patent? (Sektor Elektronik, Mechanik, Mechatronik und Allgemein)

Na ganz einfach: lösen Sie eine Aufgabe anders, als sie bisher gelöst wurde. Bei einer neuen Aufgabe, die sich bisher nie so gestellt hat, ist das ja relativ einfach. Gibt es bereits eine Lösung, aber diese kann oder darf man nicht benutzen, hilft immer eine Maxime:

GENIAL EINFACH. Den Rest des Beitrags lesen »


Management und Innovation

16. November 2009

Wann haben Sie Ihr letztes Konzert mit Chor und Orchester erlebt? Können Sie sich erinnern mit wieviel Konzentration und Hingabe die Sänger und Musiker bei der Sache sind, mit wieviel Leidenschaft und Körpereinsatz der Dirigent diese Menschen zu einem Ziel zusammenführt? Das Ziel ist Musik, die optimale Interpretation eines Kunstwerkes, die Transformation von den Noten auf Papier in die Herzen der Zuhörer. Selbstlos stellen die Künstler ihr Können in den Dienst des Chores und bringen die Musiker ihre Virtuosität in den Klangkörper ein, als Einzelner annonym, aber als Chor und Orchester berühmt. Den Rest des Beitrags lesen »


Neue Seite online

13. November 2009

Ab sofort finden Sie alle Beiträge und Informationen in meinem neuen BLOG

viel Spass beim Stöbern!


ABS

11. November 2009

Wie funktioniert eigentlich ein ABS ?

 

 

ABS ist die Abkürzung für Antiblockierschutz. ABS soll also verhindern, dass ein oder mehrere Räder eines Fahrzeugs beim Bremsen blockieren. Blockieren heißt in diesem Zusammenhang, dass sich das Fahrzeug noch bewegt, aber ein oder mehrere Räder sich nicht mehr drehen, sondern im Stillstand über den Untergrund schleifen. Es leuchtet ein, dass dieser Schleifvorgang das Rad, bzw. den Reifen beschädigt. Dieses Blockieren hat aber einen noch viel gewichtigeren Nachteil:

mit einem blockierten Rad kann man nicht mehr lenken.

Wir wollen nun in den folgenden Beiträgen verstehen, warum das so ist, und wie man diesen gefährlichen Zustand vermeiden kann.

 

Bremsen:

Ein Mittelklasseauto hat heute ein Gewicht von über eintausend Kilogramm. Eigentlich müsste man korrekterweise sagen: hat eine Masse von 1000 Kilogramm. Auf der Erde werden alle Massen zum Erdmittelpunkt angezogen, damit erhalten sie ein Gewicht. Dieses Gewicht ist eigentlich eine Kraft, die alles auf die Unterlage drückt. Im Physikunterricht lernt man: Kraft ist Masse mal Beschleunigung. Daraus kann man eine Beschleunigung ausrechnen, die ist auf der Erde eine Konstante (g= 9,81 m/s²). Diesen Wert brauchen wir auch zum Bremsen. Die Bremsverzögerung (b) hängt bei jedem Fahrzeug nämlich nur von zwei Werten ab, der Erdbeschleunigung(g) und dem Haftwert (µ). Die Bremsverzögerung b=µ*g, so einfach ist das.

Das ist schon merkwürdig, dass die mögliche Bremsverzögerung nicht vom Fahrzeuggewicht sondern nur vom (ausgenützten) Haftwert abhängt. Verstehen kann man das, wenn man überlegt, dass das größere Gewicht nicht nur eine höhere Trägheit hat, sondern auch kräftiger den Reifen auf den Untergrund presst und damit mehr Kraft auf die Fahrbahn übertragen kann. Das Fahrzeuggewicht kürzt sich also raus aus der Gleichung für die Fahrzeugverzögerung, es bleibt: b=µ*g.

Jetzt kommt natürlich die Frage: was macht überhaupt noch ein ABS?

Antwort: er nützt den Haftwert aus, so gut es geht, denn der Haftwert ist eine wirklich schwer zu messende und sich ständig ändernde Größe auf der Straße. Um das zu verstehen, müssen wir uns mit dem Haftwert näher beschäftigen.


Der Haftwert:

Der Haftwert (µ) hat etwas mit Reibung zu tun, wenn man eine Kiste auf dem Boden schiebt, kämpft man mit dem Haftwert. Dieser ist eine von Materialien, Oberflächen und vielen Faktoren abhängige dimensionslose physikalische Größe. Er wird vernünftiger weise auch immer für eine Paarung von Materialien angegeben:

Ein paar Werte zum  Merken:

Gummi auf Beton:    µ ~ 1,0  (wenn’s ganz trocken ist)

                                          µ ~ 0,6  (wenn’s regnet)

                                          µ ~ 0,1  (wenn’s eisglatt ist)

                       

Stahl auf Stahl:         µ ~ 0,1 (Eisenbahnrad auf trockener Schiene)

                                        µ ~ 0,06 (Eisenbahnrad auf regennasser Schiene)

 

Der so genannte nutzbare Haftwert hängt nicht nur von den Materialpaarungen ab, sondern bei der „rollenden Reibung“ auch vom „Schlupf“. Schlupf ist eine normierte, dimensionslose Messgröße für die Geschwindigkeitsunterschiede zwischen der Fahrzeuggeschwindigkeit und der Umfangsgeschwindigkeit an einem Rad. Der Schlupf ist gleich null, wenn kein Unterschied besteht, und ist gleich Eins, wenn das Rad blockiert.

Nun müssen wir ein Grundgesetz der rollenden Reibung lernen und verstehen:

ohne Schlupf kann man keine Kraft übertragen!

Das heißt also: beim Bremsen braucht man den Schlupf, dass man überhaupt Kraft über die Reifen auf den Boden übertragen kann, erst dann kann man den Haftwert überhaupt ausnutzen.

Veranschaulicht wird dies im Haftwert- Schlupf Diagramm, ohne das man ABS nicht verstehen kann. In diesem Diagramm wird von der Koordinatenachse nach rechts der Schlupf, aufsteigend von 0 bis 1,0 aufgetragen und nach oben die übertragbare Kraft.

Die Haftwert- Schlupf Kurve (HSK) steigt vom Koordinatenursprung bis zu einem Maximalwert stetig an und sinkt dann auf ca. 60% des Maximalwerts bei einem Schlupf =1,0 ab. Der Maximalwert hängt von den o. g. Materialpaarungen und dem Oberflächenzustand ab.

                                                                                                   

Was bedeutet diese Haftwert- Schlupf- Kurve?

Gehen wir vom Gas, rollt das Auto ja weiter. Die Räder laufen genauso schnell wie das Fahrzeug, der Schlupf ist Null.

Nun treten wir auf die Bremse, die Bremsbeläge werden auf die Bremsscheibe (oder an die Bremstrommel) gepresst und die Radumfangsgeschwindigkeit wird dadurch verringert, es entsteht ein Schlupf, denn das Fahrzeug fährt zunächst einfach weiter. Wir bewegen uns auf der Haftwert- Schlupf- Kurve (HSK) aus dem Nullpunkt heraus in Richtung Maximum. Nun kann Bremskraft über den Reifen auf die Fahrbahn übertragen werden. Zunächst wird der Schlupf aber noch größer und die übertragbare Kraft wird auch größer, wir bremsen nun das Fahrzeug ab. Bei gutem Haftwert ist die übertragbare Kraft groß genug, um das Fahrzeug so schnell abzubremsen. Es entsteht kein größerer Schlupf, die Räder bewegen sich zwar langsamer als das Fahrzeug, aber blockieren nicht. Wir sind auf dem so genannten stabilen Ast der HSK geblieben, wo ja ein größerer Schlupf auch zu größerer Bremskraft führt.

Wie läuft das nun bei schlechtem Haftwert ab?

Wir bremsen ein, die Räder werden wieder sofort verzögert, wir erreichen schnell den Maximalwert des Haftwerts, aber der ist so klein, dass wir nicht genug Bremskraft auf die Straße bringen, das Fahrzeug verzögert nicht, der Schlupf wird immer größer, aber der nutzbare Haftwert auf der HSK wird nun noch kleiner, wir sind rechts vom Maximalwert auf dem so genannten instabilen Ast der HSK. Dies führt zum Blockieren der Räder, weil wir zwar genug Bremskraft auf das Rad gebracht haben, das Rad aber seinerseits diese Kraft nicht auf die Straße übertragen kann.

Genau genommen herrscht immer ein Gleichgewicht zwischen dem Bremsmoment und dem so genannten Hochlaufmoment. Das Hochlaufmoment entsteht durch Fahrzeugbewegung und die Gewichtskraft mal Haftwert im Berührpunkt Rad Straße.

 

Merken sollten wir uns: zum Bremsen muss man in den Schlupf gehen, aber auch nicht zu weit, weil sonst das Rad sehr schnell blockiert (instabiler Ast der HSK)

 

Was macht nun der ABS?

Der ABS überwacht alle Radumfangsgeschwindigkeiten und berechnet daraus die Fahrzeuggeschwindigkeit. Wenn nicht gebremst wird, müssten alle Räder gleich schnell sein. Gibt es aber eine Differenz oder verzögert ein Rad schneller, als es der möglichen Fahrzeugverzögerung auf trockener Straße entspricht, fängt der ABS zu arbeiten an.

Der ABS kann an dem Rad, das sich von der Fahrzeuggeschwindigkeit zu schnell oder zu weit entfernt die Bremse etwas „lockern“ und damit auf dem stabilen Ast der HSK bleiben.

Die Regelstrategien sind in über 20 Jahren ABS so komplex und außerdem firmenvertraulich, dass sie hier nicht erläutert werden können. Eines gilt aber für alle:

Das Ergebnis einer guten ABS Regelung ist, das jeweilige Rad möglichst lange im Maximum des Haftwertes zu halten.